嫦娥六号着陆

求解二体问题中哈密顿算符的本征方程

在量子力学中，二体问题指的是涉及两个粒子（如电子、原子核等）的系统。这些系统的性质可以通过求解哈密顿算符的本征方程来描述。哈密顿算符（Hamiltonian operator）在量子力学中对应系统的总能量算符，其本征值（即能量的可能取值）和本征函数（描述系统状态）是我们感兴趣的物理量。

哈密顿算符的形式

二体问题的哈密顿算符通常写为：

\[ \hat{H} = \frac{\hbar^2}{2m_1} \nabla_1^2 \frac{\hbar^2}{2m_2} \nabla_2^2 V(\vec{r}_1, \vec{r}_2) \]

其中：

\( \hbar \) 是约化 Planck 常数；

\( m_1 \) 和 \( m_2 \) 分别是两个粒子的质量；

\( \nabla_1^2 \) 和 \( \nabla_2^2 \) 是对应粒子位置的拉普拉斯算符；

\( V(\vec{r}_1, \vec{r}_2) \) 是两个粒子之间的势能函数，它依赖于它们的位置。

分离变量法

分离变量法是求解多体问题中常用的技术之一，它的基本思想是假设多体波函数可以表示为各个单体波函数的乘积形式。在二体问题中，我们假设波函数可以分解为两个单体波函数的乘积：

\[ \Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2) = \psi_1(\vec{r}_1) \psi_2(\vec{r}_2) \]

这里，\( \psi_1(\vec{r}_1) \) 和 \( \psi_2(\vec{r}_2) \) 分别是描述第一个和第二个粒子的波函数。

求解哈密顿算符的本征方程

1.

写出哈密顿算符的本征方程

将分离变量后的波函数形式代入哈密顿算符的本征方程：

\[ \hat{H} \Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2) = E \Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2) \]

可以得到两个单体方程：

\[ \left[ \frac{\hbar^2}{2m_1} \nabla_1^2 V_1(\vec{r}_1) \right] \psi_1(\vec{r}_1) = E_1 \psi_1(\vec{r}_1) \]

\[ \left[ \frac{\hbar^2}{2m_2} \nabla_2^2 V_2(\vec{r}_2) \right] \psi_2(\vec{r}_2) = E_2 \psi_2(\vec{r}_2) \]

其中 \( V_1(\vec{r}_1) \) 和 \( V_2(\vec{r}_2) \) 是分别作用在第一个和第二个粒子上的势能函数，\( E_1 \) 和 \( E_2 \) 是各自的能量本征值。

2.

解单体方程

解这两个单体方程可以得到各自的波函数 \( \psi_1(\vec{r}_1) \) 和 \( \psi_2(\vec{r}_2) \)，以及对应的能量本征值 \( E_1 \) 和 \( E_2 \)。

3.

组合得到二体波函数

将两个单体波函数的乘积形式 \( \Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2) = \psi_1(\vec{r}_1) \psi_2(\vec{r}_2) \) 得到总的二体波函数。

4.

物理解释

通过解本征方程，我们得到了系统的能量本征值 \( E \) 和相应的波函数 \( \Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2) \)，这些量可以用于描述系统的物理性质，如能级结构和波函数的空间分布等。

《张朝阳的物理课》中的介绍

《张朝阳的物理课》可能通过分离变量法详细介绍了如何将二体问题的哈密顿算符分解为单体问题，并进一步求解得到能量本征值和波函数。该书可能强调了分离变量法在量子力学中的重要性，以及如何应用这一方法解决实际问题。

总结来说，求解二体问题中的哈密顿算符的本征方程涉及到将系统的波函数分解为单体波函数的乘积形式，并通过解单体方程得到各自的能量本征值和波函数，进而得到整体系统的本征态信息。